Matematica pământului plat infinit :: Societatea pământului plat

16 mai 2016

JohnDavis

Astăzi vom vorbi despre cum să folosim Legea lui Gauss pentru a arăta că un plan infinit ar avea o atracție gravitațională finită. Acum, dacă ar fi să întrebi pe cineva cât de mult atrage gravitațional o cantitate infinită de masă ar exercita, răspunsul de bun simț ar fi „infinit!” Cu toate acestea, la inspecție putem vedea că anumite configurații de masă ar produce de fapt atracții gravitaționale finite.

Acest articol necesită o înțelegere a integralelor de suprafață și, astfel, probabil că matematica va depăși multe. Cu toate acestea, voi face tot posibilul să-l explic în cei mai simpli termeni posibili. Dacă întâlnești niște matematici pe care nu le înțelegi, fă ca mine și continuă să citești. Mai târziu, puteți reveni cu ceea ce ați învățat și probabil veți avea o mai bună înțelegere despre asta.

Mai întâi vom introduce un simbol care probabil s-a ascuns de educația multor cititori. Cu toate acestea, nu este rușine, am întâlnit doctoranzi care nu erau familiarizați cu acest lucru! Un astrofizician, care lucra la disertația de doctorat, a mers până acolo încât a proclamat „Fake Math!” Trebuie să recunosc, că unul m-a făcut să chicotesc puțin pentru mine. Trebuie amintit că nimeni nu poate spera să știe totul, mai ales atunci când încercăm să ne specializăm.

Acest simbol curios arată ca unul pe care probabil l-ați mai văzut înainte, dar acționează oarecum diferit. Este posibil să fiți familiarizat cu integralul, cu care împărtășește multe proprietăți: ∫. Ignorând definiția matematică concisă, vom folosi una oarecum ușor de înțeles. Leibniz, creatorul său, a gândit-o ca pe o sumă infinită de sumande infinitesimale. Deci, luând integralul pe o porțiune mică a unei linii, puteți găsi suma ariei sale deasupra sau dedesubtul curbei, examinând suma feliilor infinit de mici ale acesteia și adăugând-o pe toate.

Simbolul cu care ați putea fi mai puțin familiarizat este cel al integralei suprafeței închise ∮. Diferența vizuală aici, desigur, este introducerea acelui cerc în mijloc. Gândiți-vă aproximativ la aceasta ca la o generalizare a integralului pe o suprafață. Deci, în loc de felii infinit de mici, veți avea de-a face cu suprafețe infinit de mici!

A doua cheie a puzzle-ului pe care va trebui să o folosim pentru a examina corect efectul gravitațional al unui plan infinit este legea lui Gauss. De regulă, utilizată în electromagnetism, legea lui Gauss se aplică de fapt și forțelor gravitaționale, deoarece ambele au o relație inversă pătrat 1 / distanță2 cu puterea lor. Se poate afirma după cum urmează:

∮g•n dA = -4πGm

Să spunem că avem o masă m. Ne prefacem că creăm o suprafață în jurul masei. Împărțim această suprafață în părți infinitezimale, fiecare cu o zonă de dA. Amintiți-vă că integralul însumează o cantitate infinită de suprafețe infinitesimale? Luăm biții infinitesimi ai zonei (dA) și îi însumăm pe întreaga suprafață închisă. Fiecare „bit” infinitesimal are un n. n este un vector unitate care este perpendicular, deci orientat departe de suprafață la unghi drept. S-ar putea să doriți să vizualizați acest lucru n reprezintă „sus” deoarece avem de-a face cu un avion. g este accelerația datorată gravitației, îndreptată spre masă. În cazul nostru, acest lucru ar trebui să fie „în jos”.

Putem folosi acest lucru pentru a examina influențele gravitaționale ale oricărui corp. Dacă ne-am uita la masa punctului, am folosi o sferă. Dacă ne-am uita la un plan infinit, așa cum suntem, vom folosi o cutie de pastile pentru suprafața noastră.

Când ne uităm la cutia de pastile, putem simplifica lucrurile frumos. Vedem că suprafața curbată a tabletei va „anula” propria influență gravitațională și nu va contribui cu nimic. O modalitate simplă de a vă gândi la acest lucru este că fiecare punct al cilindrului este contrabalansat cu un alt punct al cilindrului. Această coincidență arată, de asemenea, că planul infinit este un corp stabil, deoarece fiecare punct de pe plan în sine este, de asemenea, controbilansat de punctele din jurul său orizontal, răspunzând astfel la întrebarea comună „De ce nu s-ar forma masa într-o sferă?” O modalitate mai exactă ar fi să realizăm că aceasta este aceea g este în unghi drept la „sus” ( n ) în toate punctele; toate punctele au un punct opus care se confruntă și cu direcția opusă, și așa g • n = 0.

Suntem aproape acolo – acest lucru ne lasă doar cu capacele de cerc de care trebuie să ne ocupăm.

Privind majusculele, ne dăm seama că g și n sunt paralele și opuse unul față de celălalt și așa ne dăm seama g•n = -g. Acest lucru lasă suprafața integrală doar a capetelor cutiei de pilule. Deoarece avem 2 dintre ele și integralul este suma părților lui dA, avem -g∮dA = g2A lăsând ecuația noastră ca: -g 2A = -4πGm. De acolo, ușor de văzut, valoarea lui g este finită – g = 2πGm / A. Acest lucru este realizat în continuare prin notarea masei = (densitate * Suprafață), oferindu-ne g A = 2πGpA sau g = 2πG p. Aceasta este în mod clar o valoare finită. Dacă am dori, am putea continua de aici să calculăm adâncimea planului folosind densitatea medie a Pământului.

Având în vedere că are și adâncime, ne uităm la cazul m = (densitate * zonă * adâncime). Acest lucru ne dă în schimb g = 2πG pd, unde d este adâncimea.

g = 9,81 m / s / s
G = 6,754 × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻²
p = 5,51 g / cm³ , densitatea medie a pământului

Dându-ne d = g / (2πG p). Acest lucru se evaluează la aproximativ 4 195,43 kilometri adâncime, arătând astfel falsa mea ipoteză timpurie de 9000 km adâncime.

Surse și lecturi conexe:
BBC Cred cu adevărat că Pământul este plat?
Wolfram Math: Bougher Gravity
Legea lui Gauss pentru gravitate, DG Simpson, dr., 6 decembrie 2006